Modèle de Ramsey
Définition
Le Modèle de Ramsey est un modèle macroéconomique intertemporel de croissance optimale, développé par Frank Ramsey en 1928.
Il vise à déterminer comment une Économie devrait allouer sa Consommation et son épargne dans le temps pour maximiser le bien-être d’une population représentée par un agent représentatif.
Objectif
Maximiser l’utilité intertemporelle d’un agent représentatif sur un horizon infini :
$\max_{\{\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})\}} \int_0^{\infty} \href{https://linknote.fr/HTML/E.html}{\text{E}}^{-\rho \href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}} \cdot \href{https://linknote.fr/HTML/u.html}{\text{u}}(\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})) \, dt$
avec :
- $\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})$ : Consommation par tête à l’instant $\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}$
- $\href{https://linknote.fr/HTML/u.html}{\text{u}}(\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}})$ : utilité instantanée (croissante, concave)
- $\rho$ : taux d’impatience (préférence pour le présent)
Contraintes
Le modèle s’appuie sur une fonction de Production agrégée à rendements d’échelle constants, souvent de type Cobb-Douglas :
$\href{https://linknote.fr/HTML/Y.html}{\text{Y}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}) = F(\href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}), \href{https://linknote.fr/HTML/L.html}{\text{L}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})) = \href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})^\alpha \cdot (\href{https://linknote.fr/HTML/a.html}{\text{a}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})\href{https://linknote.fr/HTML/L.html}{\text{L}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}))^{1-\alpha}$
L'accumulation du capital est donnée par l’équation dynamique :
$\dot{\href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}) = F(\href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}), \href{https://linknote.fr/HTML/L.html}{\text{L}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})) - \href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}) - \delta \cdot \href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})$
avec :
- $\dot{\href{https://linknote.fr/HTML/k.html}{\text{k}}}$ : variation du capital dans le temps
- $\delta$ : taux de dépréciation
Variables importantes
- $\href{https://linknote.fr/HTML/r.html}{\text{r}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})$ : taux d’intérêt = rendement marginal du capital
- $\href{https://linknote.fr/HTML/G.html}{\text{G}}$ : taux de croissance exogène de la population
- $\href{https://linknote.fr/HTML/N.html}{\text{N}}$ : taux de croissance Technologique (dans la version étendue de Cass-Koopmans)
Condition d'Euler
Le programme d’optimisation intertemporel conduit à la condition d’Euler :
$\frac{\dot{\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})}{\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})} = \frac{1}{\theta} \cdot (\href{https://linknote.fr/HTML/r.html}{\text{r}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}}) - \rho)$
avec :
- $\theta$ : élasticité de l’utilité marginale (préférence pour la Consommation lissée)
- $\rho$ : taux d'impatience
- $\href{https://linknote.fr/HTML/r.html}{\text{r}}(\href{https://linknote.fr/HTML/T.html}{\text{T}})$ : rendement du capital
Équilibre à long terme
À l’équilibre stationnaire (steady state) :
- La Consommation et le capital par tête croissent à un rythme constant
- L'Économie atteint une trajectoire soutenable de croissance équilibrée
- Le taux de croissance de $\href{https://linknote.fr/HTML/C.html}{\text{C}}$ dépend de l’écart entre le rendement du capital $\href{https://linknote.fr/HTML/r.html}{\text{r}}$ et le taux d’impatience $\rho$
Applications
- Étude des politiques fiscales et d’épargne
- Comparaison entre équilibre décentralisé et optimum social
- Base de nombreux modèles dynamiques (DSGE, OLG)
Remarques
- Contrairement au modèle de Solow, le Modèle de Ramsey endogénéise l’épargne
- C’est un modèle d’offre, où l’arbitrage intertemporel détermine l’allocation des ressources
- Extension notable : Ramsey-Cass-Koopmans, avec Progrès technique exogène